Question

7．已知点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F为右焦点，PF垂直于x轴，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，判断k_AB+k_BC的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知a=2b²，a²-b²=c²=3，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由4y₁y₂=x₁x₂，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合4y₁y₂=x₁x₂，求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：PF垂直于x轴，则c=$\sqrt{3}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2b²，
a²-b²=c²=3，
则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，4y₁y₂=x₁x₂，
若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y₁y₂=x₁x₂；
直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（4k²-1）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（4k²-1）$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+4km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+4m²=0．
整理得：k=±$\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以轮换，
∴AB、BC的斜率一个是$\frac{1}{2}$，另一个就是-$\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，是定值．
不妨设k_AB=-$\frac{1}{2}$，则x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1）．
设原点到直线AB的距离为d，则S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}{+x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
当m²=1时满足①取等号．
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4．
∴四边形ABCD面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．