试题分析:(1)已知
与
的关系,要求
,一般是利用它们之间的关系
,把
,化为
,得出数列
的递推关系,从而求得通项公式
;(2)与(1)类似,先求出
,
时,推导出
与
之间的关系,求出通项公式,再求出前
项和
;(3)这是一类探究性命题,可假设结论成立,然后由这个假设的结论来推导出条件,本题设数列
是公比不为
的等比数列,则
,
,代入恒成立的等式
,得
对于一切正整数
都成立,所以
,
,
,得出这个结论之后,还要反过来,由这个条件证明数列
是公比不为
的等比数列,才能说明这个结论是正确的.在讨论过程中,还要讨论
的情况,因为
时,
,
,当然这种情况下,
不是等比数列,另外
.
试题解析:(1)由
,得
; 1分
当
时,
,即
2分
所以
; 1分
(2)由
,得
,进而
, 1分
当
时,
得
,
因为
,所以
, 2分
进而
2分
(3)若数列
是公比为
的等比数列,
①当
时,
,
由
,得
恒成立.
所以
,与数列
是等比数列矛盾; 1分
②当
,
时,
,
, 1分
由
恒成立,
得
对于一切正整数
都成立
所以
,
或
或
,
3分
事实上,当
,
或
或
,
时,
,
时,
,得
或
所以数列
是以
为首项,以
为公比的等比数列 2分
与
的关系:
,等差数列与等比数列的定义.