Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3b=2$\sqrt{3}$c．
（1）若B=2C，求sinB的值；
（2）若c=3，△ABC的面积为3$\sqrt{2}$，求a．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和二倍角公式，以及同角的平方关系，计算即可得到所求值；
（2）由条件可得b=2$\sqrt{3}$，运用三角形的面积公式可得sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得cosA，再由余弦定理，可得a的值．

解答 解：（1）由3b=2$\sqrt{3}$c，
运用正弦定理可得3sinB=2$\sqrt{3}$sinC，
由B=2C，可得sinB=sin2C=2sinCcosC，
即有cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
（2）若c=3，3b=2$\sqrt{3}$c，
可得b=2$\sqrt{3}$，
由△ABC的面积为3$\sqrt{2}$，可得3$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=3$\sqrt{3}$sinA，
可得sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则cosA=±$\sqrt{1-\frac{6}{9}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即为a=$\sqrt{12+9-2×2\sqrt{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3；
或a=$\sqrt{12+9+2×2\sqrt{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{33}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二倍角公式和同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．