Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x₀，y₀），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则可求出f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

4028

2015

）+f（

4029

2015

）的值为（　　）

• A、4029
• B、-4029
• C、8058
• D、-8058

Answer 1

考点：导数的运算,函数恒成立问题

专题：导数的概念及应用

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2014对-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：①由题意f（x）=x³-3x²，
则f′（x）=3x²-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得6x₀-6=1
解得x₀=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

4028

2015

）+f（

4029

2015

）=-4×2014+（-2）=-8058．
故选：D．

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．