Question

已知函数f(x)＝xln x.

(1)若函数g(x)＝f(x)＋x²＋ax＋2有零点，求实数a的最大值；

(2)若∀x>0，≤x－kx²－1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

 (1)由题知，g(x)＝xln x＋x²＋ax＋2＝0在(0，＋∞)上有实根，

即：－a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有实根，

令φ(x)＝ln x＋x＋，则φ′(x)＝＋1－＝＝ (x＋2)(x－1)，

易知，φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以，－a≥φ(x)_max＝φ(1)＝3，a≤－3.

(2)依题意≤x－kx²－1，kx²≤x－1－ln x，x>0.

所以k≤ (x－1－ln x)

设g(x)＝x－1－ln x，x>0，g′(x)＝1－，

当0<x<1时g′(x)<0，

当x>1时g′(x)>0，所以∀x>0，g(x)≥g(1)＝0.

所以， (x－1－ln x)≥0，

∴k≤0，即k的取值范围是(－∞，0]．