Question

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数：
①f（x）=x²+2x；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=lnx-x；
④f（x）=-xe^x
在（0，

π

2

）上是凸函数的是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：对①②③④分别求二次导数，逐一排除可得答案．

解答： 解：对于f（x）=x²+2x，f′（x）=2x+2，f″（x）=2，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＞0，故不为凸函数，
对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0，故为凸函数，
对于f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，f″（x）=-

1

x2

，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0，故为凸函数，
对于f（x）=-xe^x，f′（x）=-e^x-xe^x，f″（x）=）=-e^x-e^x-xe^x，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0，故为凸函数，
故答案为：②③④

点评：本题主要考查函数的求导公式．属基础题．