Question

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

Answer 1

解：(1)证明：直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令，解之得，

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．依题意得解得k>0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴S_min＝4，此时l：x－2y＋4＝0.