Question

已知平面α⊥平面β，交线为AB，C∈α，D∈β，AB=AC=BC=4

3

，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=8．
①求证：BD⊥平面α；
②求证：平面AED⊥平面BCD；
③求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：①取AB的中点F，连结CF，从而可证CF⊥平面β，从而推出CF⊥BD，结合AC⊥BD可证明BD⊥平面α；
②由①可知BD⊥AE，再由AE⊥BC可证明平面AED⊥平面BCD；
③取AC的中点M，连结BM，DM，则易知∠BMD为二面角B-AC-D的平面角，在Rt△DBM中求二面角B-AC-D的正切值．

解答： 解：①证明：取AB的中点F，连结CF，
又∵AB=AC=BC，
∴CF⊥AB，
又∵平面α⊥平面β，平面α∩平面β=AB；
∴CF⊥平面β，又∵BD?平面β；
∴CF⊥BD；
又∵AC⊥BD，且AC∩CF=C，
∴BD⊥平面α；
②证明：∵BD⊥平面α，又∵AE?平面α，
∴BD⊥AE，
又∵AB=AC=BC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵BC∩BD=B，
∴AE⊥平面BCD，
∴平面AED⊥平面BCD；
③解：取AC的中点M，连结BM，DM；
则易知∠BMD为二面角B-AC-D的平面角，
在Rt△DBM中，
BM=4

3

×sin60°=6；
BD=8，
故tan∠BMD=

BD

MB

=

8

6

=

4

3

．

点评：本题考查了学生的空间想象力与作图、识图能力，属于中档题．