Question

13．如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1
（1）求二面角S-BC-A的余弦值；
（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{26}}{13}$，求线段CP的长．

Answer 1

分析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．

解答 解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）
∴$\overrightarrow{SB}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{SC}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{DS}=（0，0，2）$
设面SBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=y-2z=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（-1，2，1）$
∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$
|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵二面角S-BC-A为锐角．
二面角S-BC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$
（2）由（1）知E（1，0，1），则$\overrightarrow{CB}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{CE}=（1，-1，1）$，
设$\overrightarrow{CP}=λ\overrightarrow{CB}\\;\\;（0≤λ≤1）$，（0≤λ≤1）．则$\overrightarrow{CP}=（2λ，λ，0）$，$\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CP}=（1-2λ，-1-λ，1）$
易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取$\overrightarrow{CD}=（0，1，0）$
|cos$＜\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{CD}＞$|=$\frac{λ+1}{\sqrt{5{λ}^{2}-2λ+3}}=\frac{2\sqrt{26}}{13}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$或λ=$\frac{11}{9}$（舍去）．
此时$\overrightarrow{CP}=（\frac{2}{3}，\frac{1}{3}，0）$，∴|$\overrightarrow{CP}$|=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴线段CP的长为$\frac{\sqrt{5}}{3}$

点评 本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．