Question

已知数列满足对任意的，都有且.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1） （2）.（3）

【解析】

试题分析：（1）当， 时直接代入条件且可求

（2）递推一项，然后做差得，所以

由于a2－a1＝1，即当时都有

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故

（3）由（2）知则

利用裂项相消法得Sn,根据单调递增得

要使不等式对任意正整数恒成立，只要

可求得实数的取值范围是.

试题解析：(（1）当时，有，由于，所以

当时，有，将代入上式，由于，所以

（2）由于，①

则有②

②－①，得

由于，所以③

同样有()，④

③－④，得，所以

由于a2－a1＝1，即当时都有

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故

（3）由（2）知

则

所以

∵∴数列单调递增．

所以

要使不等式对任意正整数恒成立，只要

∵

∴，即.所以，实数的取值范围是.

考点：不等式与数列综合题.