【题目】已知函数.
(I)如果在处取得极值,求的值.
(II)求函数的单调区间.
(III)当时,过点存在函数曲线的切线,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(III).
【解析】试题分析:(I)求导数,由解得k的值即为所求;(II)求得,分和两种情况讨论函数的单调区间;(III)先设出切点,并求出函数在该点处的切线为,将代入切线放长可得,由此可得t的范围即函数的 值域,求函数的值域可得所求。
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为.
∵,
∴,
∵函数在处取得极值,
∴,解得
当时, ,
∴当时, 单调递增;
当时, 单调递减,
∴函数在处取得极小值,符合题意.
∴
(Ⅱ)因为.
①当时, 恒成立,所以在上单调递减,
②当时,令,得,
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增。
综上,当时, 的单调减区间为;
当时, 的单调减区间为,单调增区间为。
(III)当时, ,
设切点坐标为,则.
又,
所以切线方程为,
将代入上式得.
令,所以.
当时,解得.
所以当时, ,函数单调递增;
当时, ,函数单调递减.
所以当时,函数有极大值,也为最大值,且,无最小值.
所以当时,存在切线.
故的取值范围为.
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【题目】双十一网购狂欢,快递业务量猛增.甲、乙两位快递员月日到日每天送件数量的茎叶图如图所示.
(Ⅰ)根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多(写出结论即可);
(Ⅱ)求甲送件数量的平均数;
(Ⅲ)从乙送件数量中随机抽取个,求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率.
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【题目】已知函数 .任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式;
(3)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式 有解,若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=alnx﹣x2+1.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0,求实数a和b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
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【题目】已知函数f(x)=Acos( + ),x∈R,且f( )= .
(1)求A的值;
(2)设α,β∈[0, ],f(4α+ π)=﹣ ,f(4β﹣ π)= ,求cos(α+β)的值.
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【题目】如图,设椭圆()的左、右焦点分别为,点在椭圆上, , , 的面积为.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆
有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
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