Question

已知椭圆的方程为,点分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点为圆心,为半径作圆;以点为圆心,为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为;

(1)求椭圆的离心率;

(2)己知a=7,问是否存在点,使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的点坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)由,得直线的倾斜角为,

则点到直线的距离,

故直线被圆截得的弦长为,

直线被圆截得的弦长为,                  

据题意有:,即,                     

化简得:,

解得:或,又椭圆的离心率;

故椭圆的离心率为.

(2)假设存在,设点坐标为,过点的直线为;

当直线的斜率不存在时,直线不能被两圆同时所截;

故可设直线的方程为,

则点到直线的距离,

由(1)有,得=,

故直线被圆截得的弦长为,                      

则点到直线的距离,

,故直线被圆截得的弦长为,               

据题意有:,即有,整理得,

即,

所以4|―7k―km+n|=3|7k-km+n|,

即4(―7k―km+n)=3(7k-km+n)或4(―7k―km+n)=-3(7k-km+n),

也就是(49+m)k-n=0或(1+m)k-n=0与k无关.

于是或,

故所求点坐标为(-1,0)或(-49,0).    

方法二 对式两边平方整理成关于的一元二次方程得

,                  

关于的方程有无穷多解,

故有:,

故所求点坐标为(-1,0)或(-49,0).                             

(注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分)