Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+2（n∈N^*）
（1）若数列{a_n}是等差数列，且b₃=45，求a的值及数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{a_n}的等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先根据{a_n}是等差数列表示出通项公式，再根据b₃=45求得a₃a₅的值从而可确定a的值，求得{a_n}的通项公式．
（2）先根据{a_n}是等比数列表示出通项公式，进而可表示出b_n的表达式，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=1+（n-1）（a-1）．
又b₃=45，∴a₃a₅=45，即（2a-1）（4a-3）=45，
解得a=2或a=-

7

4

（舍去），…（5分）
∴a_n=2n-1．…（7分）
（2））∵{a_n}是等比数列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=a^n-1，则b_n=a_na_n+2=a²ⁿ．
∴当a=1时，S_n=n；
当a≠1时，S_n=

a2(1-a2n)

1-a2

．…（14分）

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和．高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握．