Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 =（a， ）， =（cosC，c﹣2b），且 ⊥ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意 ⊥ ．可知： ， 即acosC+ =b，得sinAcosC+ sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴ ，∵sinC≠0，∴cosA= ．
又0＜A＜π∴A= ．
（Ⅱ）由正弦定理得：b= ， ，
l=a+b+c=1+ =1+
=1+2（ ）
=1+2sin（B+ ）．
∵A= ．
∴B∈ ，∴B+ ，
∴sin（B+ ） ．
故△ABC的周长l的范围为（2，3]
【解析】（Ⅰ）利用向量的垂直，推出数量积为0，通过三角形内角和以及两角和的正弦函数，确定角A的大小；（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表达式，通过三角形的内角和以及两角和的正弦函数化简表达式，根据角的范围，确定三角函数的范围，然后求△ABC的周长l的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识点，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直才能正确解答此题．