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已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤2π.
(1)当时,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2A-1,A)内都是增函数,求实数A的取值范围.

(1) 无极值;(2) θ的取值范围为;(3) A的取值范围是

解析试题分析:(1)由题得f(x)=4x3 ,由幂函数性质知,在R上为增函数,无极值;(2)对原函数求导且令,解得,当时,可求得极小值,令,当,所求极小值不会小于零,可得范围;(3) 函数f(x)在区间(2A-1,A)内都是增函数,则A需满足不等式组,解得的范围.
解:(1)当时,f(x)=4x3,则f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值.  2分
(2)f′(x)=12x2-6xcosθ,
令f′(x)=0,得x1=0,.  3分
时,容易判断f(x)在(-∞,0],上是增函数,在上是减函数,
故f(x)在处取得极小值  5分
,即,可得
由于0≤θ≤2π,故.  7分
同理,可知当时,f(x)在x=0处取得极小值,此时,当f(0)>0时,,与相矛盾,所以当时,f(x)的极小值不会大于零.
综上,要使函数f(x)在(-∞,+∞)的极小值大于零,θ的取值范围为.  9分
(3)由(2),知函数f(x)在区间(-∞,0]与 内都是增函数,由题设:函数在(2A-1,A)内是增函数,则A需满足不等式组 (其中θ∈时,).  12分
从而可以解得A≤0或
即A的取值范围是.  14分
考点:函数的极值,由三角函数求角的范围,函数的单调性.

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