已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤2π.
(1)当时,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2A-1,A)内都是增函数,求实数A的取值范围.
(1) 无极值;(2) θ的取值范围为;(3) A的取值范围是.
解析试题分析:(1)由题得f(x)=4x3 ,由幂函数性质知,在R上为增函数,无极值;(2)对原函数求导且令,解得或,当时,可求得极小值,令得,当,所求极小值不会小于零,可得范围;(3) 函数f(x)在区间(2A-1,A)内都是增函数,则A需满足不等式组或,解得的范围.
解:(1)当时,f(x)=4x3,则f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值. 2分
(2)f′(x)=12x2-6xcosθ,
令f′(x)=0,得x1=0,. 3分
当时,容易判断f(x)在(-∞,0],上是增函数,在上是减函数,
故f(x)在处取得极小值 5分
由,即,可得.
由于0≤θ≤2π,故或. 7分
同理,可知当时,f(x)在x=0处取得极小值,此时,当f(0)>0时,,与相矛盾,所以当时,f(x)的极小值不会大于零.
综上,要使函数f(x)在(-∞,+∞)的极小值大于零,θ的取值范围为. 9分
(3)由(2),知函数f(x)在区间(-∞,0]与 内都是增函数,由题设:函数在(2A-1,A)内是增函数,则A需满足不等式组或 (其中θ∈时,). 12分
从而可以解得A≤0或,
即A的取值范围是. 14分
考点:函数的极值,由三角函数求角的范围,函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离区以投放净化物质,其形状为三角形,其中位于边上,位于边上.已知米,,设,记,当越大,则污水净化效果越好.
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(2)求最大值,并指出等号成立条件?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2014·济南模拟)已知函数f(x)=sinωx-sin2+(ω>0)的最小正周期为π.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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(1)求函数的解析式及其单调增区间;
(2)在锐角三角形△ABC中,角A、B、C所对的边分别为,且,角A的取值范围是区间M,当时,试求函数的取值范围.
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