Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$+1（a≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程为x-2y+1=0，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若a＞0，g（x）=x²e^mx，且对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，结合切线方程求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅲ）问题转化为当a＞0时，对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f_min（x）≥g_max（x）成立”，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，分别求出函数f（x）的最小值和g（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{a（{x^2}+1）-ax•2x}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{a-a{x^2}}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$，∴f'（0）=a．…（3分）
函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程为x-2y+1=0∴$a=\frac{1}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，函数f（x）的定义域为R，
$f'（x）=\frac{{a（{x^2}+1）-ax•2x}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{a（1-{x^2}）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{a（1-x）（1+x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$．…（6分）
当a＞0时，x∈（-1，1），f'（x）＞0，f（x）为增函数，
x∈（-∞，-1），（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）为减函数，
所以$f{（x）_{极小}}=f（-1）=1-\frac{a}{2}$，$f{（x）_{极大}}=f（1）=1+\frac{a}{2}$．
当a＜0时，x∈（-1，1），f'（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（-∞，-1），（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数，
所以$f{（x）_{极大}}=f（-1）=1-\frac{a}{2}$，$f{（x）_{极小}}=f（1）=1+\frac{a}{2}$．…（8分）
（Ⅲ）“对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立”
等价于“当a＞0时，对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f_min（x）≥g_max（x）成立”，
当a＞0时，由（Ⅱ）可知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
而f（x）=tanx，所以f（x）的最小值为f（0）=1，g'（x）=2xe^mx+x²e^mx•m=（mx²+2x）e^mx，
当m=0时，g（x）=x²，x∈[0，2]时，g_max（x）=g（2）=4，显然不满足g_max（x）≤1，…（10分）
当m≠0时，令g'（x）=0得，x₁=0，${x_2}=-\frac{2}{m}$，
（ⅰ）当$-\frac{2}{m}≥2$，即-1≤m＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以g（x）在[0，2]单调递增，
所以${g_{max}}（x）=g（2）=4{e^{2m}}$，只需4e^2m≤1，得m≤-ln2，所以-1≤m≤-ln2．…（11分）
（ⅱ）当$0＜-\frac{2}{m}＜2$，即m＜-1时，在$[0，-\frac{2}{m}]$，g'（x）≥0，g（x）单调递增，
在$[-\frac{2}{m}，2]$，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以${g_{max}}（x）=g（-\frac{2}{m}）=\frac{4}{{{m^2}{e^2}}}$，
只需$\frac{4}{{{m^2}{e^2}}}≤1$，得$m≤-\frac{2}{e}$，所以m＜-1．…（12分）
（ⅲ）当$-\frac{2}{m}＜0$，即m＞0时，显然在[0，2]上g'（x）≥0，g（x）单调递增，
${g_{max}}（x）=g（2）=4{e^{2m}}$，4e^2m≤1不成立，…（13分）
综上所述，m的取值范围是（-∞，-ln2]．…（14分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．