Question

14．如图：在一座山上要打一个涵洞，在山周围取四个点A、B、C、D，使AB⊥BC，又测得∠DAB=120°，DA=3km，DC=7km，BC=3$\sqrt{3}$km，求：涵洞DB的长．

Answer 1

分析 △ABD中，由正弦定理求得 sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$．△BCD中，由余弦定理求得sinα=$\frac{{x}^{2}+27-49}{2x•3\sqrt{3}}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，由$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，求得涵洞BD=x的长．

解答 解：∵∠DAB=120°，DA=3km，DC=7km，BC=3$\sqrt{3}$km，设BD=xkm，∠ABD=α，
△ABD中，由正弦定理得$\frac{3}{sinα}$=$\frac{x}{sin120°}$，∴sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$．
△BCD中，由余弦定理得cos∠DBC=cos（$\frac{π}{2}$-α）=sinα=$\frac{{x}^{2}+27-49}{2x•3\sqrt{3}}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，
 由$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，求得x=7km，故涵洞BD的长为7km．

点评 本题主要考查解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理，属于中档题．