Question

设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足B={x|

x-3

x-2

＜0}．
（Ⅰ）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围； 
（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：本题要把复合命题的真假归结为不等式的求解．

解答： 解：（Ⅰ）对于命题p：（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，∴a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是（2，3）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
p：A={x|a＜x＜3a，a＞0}     q：B={x|2＜x＜3}
∵q是p的充分不必要条件，∴B?A
∴

3a≥3 a≤2

，解得1≤a≤2
∴实数a的取值范围是[1，2]．

点评：本题为复合命题真假的判断，加以解不等式的计算，属中档题．