Question

13．在正方形ABCD中，点E在边AD上（端点除外），现将△ABE沿直线BE翻折至△A′BE，连结A′C、A′D，记二面角A′-BE-C为α（0＜α＜π），则（　　）

• A． 存在α，使得A′E⊥面A′BC
• B． 存在α，使得A′B⊥面A′CD
• C． 存在α，使得A′E⊥面A′CD
• D． 存在α，使得A′B⊥面A′DE

Answer 1

分析 Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，能推导出某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，从而得到存在α，使得EA′⊥面A′BC．

解答 解：作AF⊥BE于F，交DC于G，则当折叠时，A′的投影在FG上，
设正方形的边长为1，则A′B=1，BD=$\sqrt{2}$，
∵A′E+ED=1＞A′D，∴∠BA′D≠90°，故D和B错误；
∵二面角A′-BE-C的大小为α（0＜α＜π），不存在母线EA′⊥A′C，
∴不可能存在α，使得EA′⊥面A′CD，故C错误；
Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，
∵∠A′BE＜45°，45°＜∠A′EB＜90°，
∴某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，
∵二面角A′-BE-C的大小为α（0＜α＜π），
∴存在α，使得EA′⊥面A′BC，故A正确．
故选：A．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．