Question

10．如图，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF丄平面ABCD
（1）求证：DF⊥CE
（2）若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG∥平面EFC？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过证明：DF⊥平面BCE，即可证明DF⊥CE
（2）棱AE上存在点G，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，使得平面OBG∥平面EFC，证明OB∥平面EFC，OG∥平面EFC，即可证明结论．

解答 （1）证明：连接EB，
∵梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD，
∵平面BDEF丄平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
∴BC⊥平面BDEF，
∴BC⊥DF，
∵DF⊥EB，EB∩BC=B，
∴DF⊥平面BCE，
∵CE?平面BCE，
∴DF⊥CE
（2）解：棱AE上存在点G，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，使得平面OBG∥平面EFC．
∵AB∥DC，AB=1，DC=2，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OG∥CE，
∵EF∥OB，
∴OB∥平面EFC，OG∥平面EFC，
∵OB∩OG=O，
∴平面OBG∥平面EFC．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判断，考查面面平行的判定，属于中档题．