Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x
（1）若函数h（x）=

f′(x)

x

为奇函数，求a的值
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围．
（3）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意求得f′（x）的解析式，根据函数h（x）=

f′(x)

x

为奇函数，可得f′（x）为偶函数，故2a+1=0，由此求得a的值．
（2）由题意根据导数的几何意义可得k不再f′（x）的取值范围内，求得f′（x）的值域，再取补集可得k的范围．
（3）求出f′（x）=（x-a-1）（x-a），分别①当a≥1时、②当-1＜a＜0时、③当0＜a＜1时、④当a=0时四种情况，分别利用导数求出f（x）区间[0，1]上的最大值，综合可得结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，∴f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a．
∵函数h（x）=

f′(x)

x

=2x-（2a+1）+

a2+a

x

  为奇函数，∴f′（x）为偶函数，∴2a+1=0，a=-

1

2

．
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，故k不在f′（x）的取值范围内．
由于f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，∴k＜-

1

4

．
（3）∵a＞-1，f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a=（x-a-1）（x-a），∴a+1＞0，
①当a≥1时，f′（x）≥0在区间[0，1]上恒成立，故f（x）区间[0，1]上是增函数，
故f（x）的最大值为f（1）=a²-

1

6

．
②当-1＜a＜0时，在（0，a+1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
在（a+1，1）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
再根据f（0）=0，f（1）=a²-

1

6

，故当-1＜a≤-

6

6

时，最大值为f（1）=a²-

1

6

；
当-

6

6

＜a＜0时，最大值为f（0）=0．
③当0＜a＜1时，在（0，a）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（a，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（a）=

1

3

a³+

1

2

a²．
④当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（0）=0．
综上可得，f_max（x）=

a2- 1 6   ，  a≥1 ，或-1＜a≤- 6 6 0   ， - 6 6 ＜a≤0 1 3 •a3+ 1 2 •a2 ，0＜ a＜1

．

点评：本题主要考查奇函数的性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最大值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．