Question

已知数列{a_n}满足a_l=2，a_n+l=2a_n²，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{1+log₂a_n}为等比数列；
（Ⅱ）证明：

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数，得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，由此能证明{1+log₂a_n}为等比数列．
（Ⅱ）

1

1+log2an

=

1

2n

，设M=

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，利用错位相减法能证明

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a_n+l=2a_n²，n∈N^*，
∴两边取以2为底的对数，
得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，
则log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），
∴{1+log₂a_n}为等比数列．（6分）
（Ⅱ）∵log₂a_n+1=（log₂a₁+1）×2^n-1=2ⁿ，
∴

1

1+log2an

=

1

2n

，
设M=：

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
则

1

2

M=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

，
两式相减得

1

2

M=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
则M＜2，
∴

1

1+log2a1

+

2

1+log2a2

+…+

n

1+log2an

＜2．（13分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．