Question

已知圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值A，求得此定值A等于

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：计算题,直线与圆

分析：根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y-0=k（x-1），圆心C到直线l的距离为定值，即可得出结论．

解答： 解：圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0 即[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，表示以C（3-m，2m）为圆心，半径等于3的圆．
∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|m-3-1|=|m-4|，不是定值．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
此时，圆心C到直线l的距离 d=

|2k-m(2+k)|

k2+1

为定值，与m无关，
故k=-2，d=

4

5

，
∴A=2

9- 16 5

=

2 145

5

，
故答案为：

2 145

5

．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题