Question

如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））．

（Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出 的长；不存在，说明理由；

（Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．

取的中点，连结，．

由为的中点，得，且 ，

又，且，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

故．

又平面，平面，

所以平面．    

从而存在点，使得平面，此时．

（Ⅱ）由平面平面，交线为，且，

所以平面，又，

以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图），则，，，，

． ，．

平面的一个法向量为，   

设平面的法向量为，

由得    

取，得，   

所以，

即面和平面所成的锐二面角的余弦值为