Question

8．已知sinx=x-$\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…{（{-1}）^{n-1}}\frac{{{x^{2n-1}}}}{{（{2n-1}）!}}$+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：$sinx=x（{1-\frac{x^2}{π^2}}）（{1-\frac{x^2}{{4{π^2}}}}）（{1-\frac{x^2}{{9{π^2}}}}）…$，把这个式子的右边展开，发现-x³的系统为$\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{{{（{2π}）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{3π}）}^2}}}+…=\frac{1}{3!}$，即$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{{{{（2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（3）}^2}}}+…=\frac{π^2}{6}$，请由cosx=1-$\frac{x^2}{2！}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+…+{（{-1}）^{n-1}}\frac{{{x^{2（{n-1}）}}}}{{2（{n-1}）!}}$+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．

Answer 1

分析 直接利用类比推理，即可得出结论．

解答 解：由cosx=0有无穷多个根：±$\frac{1}{2}$π，±$\frac{3}{2}$π，…，
可得：cosx=（1-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}{π}^{2}}$）（1-$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}{π}^{2}}$）…，把这个式子的右边展开，发现x²的系数为$\frac{1}{\frac{1}{4}{π}^{2}}$+$\frac{1}{\frac{9}{4}{π}^{2}}$+…=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．
故答案为$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．

点评 本题考查的知识点是类比推理，考查学生的计算能力，难度较大．