Question

17．已知双曲线C与椭圆x²+4y²=64有相同的焦点，且直线$x+\sqrt{3}y=0$为双曲线C的一条渐近线，则双曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，转化求解即可．

解答 解：双曲线C与椭圆x²+4y²=64有相同的焦点（±4$\sqrt{3}$，0），直线$x+\sqrt{3}y=0$为双曲线C的一条渐近线，
可得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，又a²+b²=48，可知a²=36，b²=12．
则双曲线C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线法方程的求法，考查计算能力．