Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

(1) 在的值域为,函数在上不是有界函数；
（2）实数的取值范围为

（1）当时， 
因为在上递减，所以，即在的值域为
故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。  
（2）由题意知，在上恒成立
，         
∴  在上恒成立
∴   
设，，，由得 t≥1，
设，

所以在上递减，在上递增，
在上的最大值为， 在上的最小值为 
所以实数的取值范围为。