Question

12．设函数f （x）的定义域为I，若对?x∈I，都有f（x）＜x，则称f（x）为T-函数；
若对?x∈I，都有f[f（x）]＜x，则称f（x）为Γ一函数．给出下列命题：
①f （x）=ln（l+x）（x≠0）为τ-函数；
②f （x）=sinx （0＜x＜π）为Γ一函数；
③f （x）为τ-函数是（x）为Γ一函数的充分不必要条件；
④?a∈R，使得f （x）=ax²-1既是τ一函数又是Γ一函数．
其中真命题有①②④．（把你认为真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 根据已知中τ-函数，与Γ一函数的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．

解答 解：当f（x）=ln（l+x）（x≠0）时，
满足对?x∈（-1，0）∪（0，+∞），都有f（x）＜x，则（x）为τ-函数，即①正确；
当f（x）=sinx （0＜x＜π）时，
满足对?x∈（0，π）都有f[f（x）]＜x，则f（x）为Γ一函数，即②正确．
f（x）为τ-函数时，对?x∈I，都有f（x）＜x，
此时f（x）∈I不一定成立，故f[f（x）]＜f（x）不一定成立，
故f（x）为τ-函数不是（x）为Γ一函数的充分条件，即③错误；
f（x）=ax²-1是τ一函数，即ax²-x-1＜0恒成立，故a＜-$\frac{1}{4}$，或a=0
f（x）=ax²-1是Γ一函数，即a（ax²-1）²-x-1＜0恒成立，故a＜-$\frac{1}{4}$，
即f（x）=ax²-1既是τ一函数又是Γ一函数的充要条件是a＜-$\frac{1}{4}$．即④正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断应用为载体，考查了全称命题，函数的图象和性质等知识点，难度中档．