Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3且2a_n＋1＝a_n＋2＋a_n（n∈N^*）．数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b₁＝－，b_n＋1＝－S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若T_n＝＋＋…＋，求T_n的表达式．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1.∴b_n＝　　
（2）T_n＝－＋（n－1）×3^n－1.

本题主要考查递推关系式求数列的通项公式，利用错位相减法和公式法求出数列前n项和，是解题的关键．
（1）∵2a_n＋1＝a_n＋2＋a_n，∴数列{a_n}是等差数列，∴公差d＝a₂－a₁＝2，∴a_n＝2n－1.∵b_n＋1＝－S_n，∴b_n＝－S_n－1（n≥2）．∴b_n＋1－b_n＝－b_n，则b_n＋1＝b_n.又∵b₂＝－S₁＝1，＝－≠，
∴数列{b_n}从第二项开始是等比数列，
∴b_n＝　　
（2）∵n≥2时，＝（2n－1）·3^n－2，∴T_n＝＋＋…＋＝－＋3×3⁰＋5×3¹＋7×3²＋…＋（2n－1）×3^n－2，∴3T_n＝－2＋3×3¹＋5×3²＋7×3³＋…＋（2n－1）×3^n－1，
错位相减并整理得T_n＝－＋（n－1）×3^n－1.