Question

1．已知函数f（x）=2sin²x+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin²x+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x
=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）因为x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，即函数f（x） 在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域为[0，1]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．