Question

4．已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，利用基本不等式可得结论．

解答 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，
|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
设|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{3}$
∴化简可变成：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4≥$\frac{2\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$
∴e₁e₂≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．