Question

设复数z满足：（2-

3

+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|=

 

．

Answer 1

考点：复数求模

专题：计算题,数系的扩充和复数

分析：设z=x+yi（x，y∈R），由（2-

3

+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，得y=

3

x①，由|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，得|z-1|²=|z||z-2|，即（x-1）²+y²=

x2+y2

•

(x-2)2+y2

②，联立①②可求得z，进而可求|z|．

解答： 解：设z=x+yi（x，y∈R），
则（2-

3

+i）z=（2-

3

+i）（x+yi）=（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]i，
∵：（2-

3

+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
∴（2-

3

）x-y+（2-

3

）y+x=0，化简得y=

3

x①，
∵|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，
∴|z-1|²=|z||z-2|，即（x-1）²+y²=

x2+y2

•

(x-2)2+y2

②，
联立①②解得，

x= -1+ 2 2 y= - 3 + 6 2

或

x= -1- 2 2 y= - 3 - 6 2

，
∴|z|=

( -1+ 2 2 )2+( - 3 + 6 2 )2

=

2

-1或

( -1- 2 2 )2+( - 3 - 6 2 )2

=

2

+1，
故答案为：

2

-1或

2

+1．

点评：该题考查复数代数形式的运算、复数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属基础题．