Question

一只渔船遭遇台风遇险，发出求救信号，在遇险地A西南方向10 n mile的B处有一只海船收到信号立即侦察，发现遇险船只沿南偏东75°，以9 n mile∕h的速度向前航行，渔船以21 n mile∕h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近．
（1）求渔船所花的最短时间；
（2）求渔船的航程；
（3）求渔船航向与BA的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）可先根据题意，不难得出∠BAC=120°，已知了军舰和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示出AC，BC的长，已知了AB的长为10，可根据余弦定理来求出时间的值．
（2）渔船的航程BC=21t；
（3）根据（1）中求出的时间，可得出AC、BC的长，那么根据正弦定理即可求出渔船航向与BA的夹角的余弦值．

解答： 解：（1）设靠近渔船所需的时间为t小时，那么BC=21t（海里），AC=9t（海里），AB=10（海里），
根据余弦定理可得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos120°
∴（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化简得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合题意舍去）；
（2）渔船的航程BC=21t=14（海里），
（3）由（1）得出的时间值可得：BC=14，AC=6，AB=10
根据正弦定理可得：

6

sin∠CAB

=

14

sin120°

∴sin∠CAB=

3 3

14

．
∴cos∠CAB=

13

14

．

点评：本题主要考查了解直角三角形中方向角的应用问题，画对图形是解题的关键．