Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²a_n+2a₁-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）对任意n∈N^*，试比较a_n与

1

2n

的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）a₁=S₁=a₁+2a₁-1，得a1=

1

2

．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n2an-(n-1)2an-1，由此利用累乘法能求出an=

1

n(n+1)

，从面求出S_n=

n

n+1

．
（Ⅱ）通过逐项比较和数学归纳法证明，推导出n=1时，a_n=

1

2n

；1＜n≤4时，a_n＜

1

2n

；当n≥5时，a_n＞

1

2n

．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²a_n+2a₁-1，其中n∈N^*．
∴a₁=S₁=a₁+2a₁-1，解得a1=

1

2

．
∴n≥2时，S_n=n²a_n，①
S_n-1=（n-1）²a_n-1，②
①-②得：a_n=S_n-S_n-1=n2an-(n-1)2an-1，
整理，得

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

，…，

an

an-1

=

n-1

n+1

，
把上面各式相乘，得

an

a1

=

2

n(n+1)

，
∴an=

1

n(n+1)

．
∴S_n=n²a_n+2a₁-1=

n2

n(n+1)

=

n

n+1

．
（Ⅱ）当n=1时，an=

1

2

，

1

2n

=

1

2

，a_n=

1

2n

，
当n=2时，a_n=

1

6

，

1

2n

=

1

4

，a_n＜

1

2n

，
当n=3时，a_n=

1

12

，

1

2n

=

1

8

，a_n＜

1

2n

，
当n=4时，an=

1

20

，

1

2n

=

1

16

，a_n＜

1

2n

，
当n=5时，an=

1

30

，

1

2n

=

1

32

，a_n＞

1

2n

，
∴当n≥5时，a_n＞

1

2n

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=5时，an=

1

30

，

1

2n

=

1

32

，a_n＞

1

2n

．
②假设n=k时，成立，则ak＞

1

2k

，即

1

k(k+1)

＞

1

2k

，
∴2^k＞k（k+1），
当n=k+1时，a_k+1=

1

(k+1)(k+2)

，
∵（k+1）（k+2）=k（k+1）+2（k+1）＜2^k+2（k+1）＜2^k+1，
∴，a_k+1=

1

(k+1)(k+2)

＜

1

2k+1

．
∴当n≥5时，a_n＞

1

2n

．
综上：n=1时，a_n=

1

2n

；1＜n≤4时，a_n＜

1

2n

；当n≥5时，a_n＞

1

2n

．

点评：本题考查数列的通面公式和前n项和公式的求法，考查两个式子的大小的比较，解题时要注意数学归纳法的合理运用．