Question

8．已函数f（x）=sin（$\frac{7π}{6}-2x$）-2sin²x+1（x∈R），
（1）求函数f（x）的最小正周期及单凋递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点（A，$\frac{1}{2}$），b，a，c成等差数列，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；
（2）通过函数f（x）的图象经过点（A，$\frac{1}{2}$），b，a，c成等差数列，求出A以及列出abc的关系，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{7π}{6}-2x$）-2sin²x+1
=-sin（$\frac{π}{6}$-2x）-（1-cos2x）+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单凋递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…（6分）
（2）由f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{5π}{6}$+2kπ（k∈Z），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（8分）
又∵b，a，c成等差数列，
∴2a=b+c，…（9分）
而$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}bc$=9，
∴bc=18，…（10分）
∴cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1=$\frac{4{a}^{2}-{a}^{2}}{36}$-1=$\frac{{a}^{2}}{12}$-1，
∴a=3$\sqrt{2}$．．…（12分）

点评 本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，基本知识的考查．