Question

已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

（1）见解析（2）(x－2)²＋(y－1)²＝5（3）

(1)由题设知，圆C的方程为(x－t)²＋＝t²＋，化简得x²－2tx＋y²－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；当x＝0时，y＝0或，则B，
∴S_ΔAOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝，∴t＝2或t＝－2，
∴圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴圆C的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝5或(x＋2)²＋(y＋1)²＝5，由于当圆方程为(x＋2)²＋(y＋1)²＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.
∴圆C的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝5
(3)点B(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2.
所以|PB|＋|PQ|的最小值2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.