Question

11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{{41\sqrt{41}π}}{48}$
• B． 12π
• C． $\frac{25π}{4}$
• D． $\frac{41π}{4}$

Answer 1

分析 由三视图知：几何体为三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
如图：△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，利用勾股定理即可得出．

解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥S-ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
底面为等腰直角三角形，直角边长为2，如图：
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．
OE⊥底面ABC，
设OE=x，外接球的半径为R，
则${x}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=1+（2-x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$．
∴R²=$\frac{41}{16}$，
∴外接球的表面积S=4π×R²=$\frac{41π}{4}$．
故答案为：$\frac{41π}{4}$．

点评 本题考查了三棱锥的三视图、空间位置关系、外接球的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．