Question

1．已知正△ABC的边长为4，若在△ABC内任取一点，则该点到三角形顶点A、B、C距离都不小于2的概率为1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$π．

Answer 1

分析 先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满π足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．

解答 解：满足条件的正三角形ABC如图所示：
其中正三角形ABC的面积S_三角形=$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$
满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为2的半圆，
则S_阴影=$\frac{1}{2}$π×2²=2π，
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是
P=$\frac{{S}_{空白部分}}{{S}_{三角形}}$=$\frac{4\sqrt{3}-2π}{4\sqrt{3}}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$π．
故答案为：1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$π

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式是解决本题的关键．