Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{4}$，且图象上一个最低点为$M（\frac{π}{3}，-1）$．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，由最低点的坐标求出ϕ的值，可得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数y=g（x）的解析式，根据关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个实数解，求得实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=4，再根据sin（4•$\frac{π}{3}$+ϕ）=-1，结合0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$可得$\frac{4π}{3}$+ϕ=$\frac{3π}{2}$，∴ϕ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的表达式为f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，可得y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个实数解，则-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或 k=1，
故实数k的取值范围为{k|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或 k=1}．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．