Question

8．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），离心率为e，椭圆过点P（-2，3）与Q（$\frac{2}{e}$，0）．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设经过点P的直线与圆O：x²+y²=28的交点为M、N，若PF=PM，求PN的长；
（3）设不经过点P的直线l：y=kx+m与椭圆E交于两点A、B，记直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂，且4k₁k₂+3=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆性质列方程解出a，b，c即可得出椭圆方程；
（2）利用垂径定理列方程得出O到直线MN的距离，再根据对称性得出PN；
（3）联立方程组，根据根与系数的关系表示出k₁、k₂，列方程化简整理得出m．

解答 解：（1）∵椭圆过Q（$\frac{2}{e}$，0），∴a=$\frac{2}{e}$=$\frac{2a}{c}$，∴c=2，
则a²=b²+c²=b²+4，
将P（-2，3）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：b²=12，a²=16，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）如图，过O作OG⊥MN，垂足为G，设PG=x，
∵OP²=13，OM²=28，PM=PF=3，
∴28-（3+x）²=13-x²，即x=1．
∴PN=PG+GN=PG+PG+PM=2PG+PM=2×1+3=5；
（3）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$．
${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{3{m}^{2}-48{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
又P（-2，3），∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}+2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}+2}$，
∵4k₁k₂+3=0，∴k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴4y₁y₂-12（y₁+y₂）+36+3x₁x₂+6（x₁+x₂）+12=0，
∴12•$\frac{{m}^{2}-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-72•$\frac{m}{3+4{k}^{2}}$+48+12•$\frac{{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-48•$\frac{km}{3+4{k}^{2}}$=0，
整理得：m=2k+3．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．