Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，0≤φ≤

π

2

）的图象在y轴右侧的第一个最高点为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为H（

5

6

，0）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[

1

4

，

3

4

]上的对称轴方程．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据所给的两个点，看出周期和振幅，代入一个点的坐标和初相的范围求出初相，得到三角函数的解析式．
（2）根据正弦函数的对称轴的表示形式，把πx+

π

6

等于对称轴表示的形式，根据对称轴要求的范围，求出结果．

解答： 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ），
∵图象在y轴右侧的第一个最高点为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（

5

6

，0）．
∴A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

  
∴T=2  
∴ω=

2π

T

=π
将点P（

1

3

，2）代入y=2sin（πx+φ）得：sin（

π

3

+φ）=1，即

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
所以ϕ=2kπ+

π

6

（k∈Z），
∵|ϕ|＜

π

2

∴ϕ=

π

6

∴函数的表达式为f（x）=2sin（πx+

π

6

）（x∈R）
（2）根据正弦函数的对称轴得到
πx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈z）
解得：x=k+

1

3

．
∵

1

4

≤k+

1

3

≤

3

4

，解得-

1

12

≤k≤

5

12

由于k∈Z，所以k=0
所以函数f（x）在区间[

1

4

，

3

4

]上的对称轴的方程为x=

1

3

．

点评：本题考查根据所给的确定三角函数的解析式，考查对三角函数进行恒等变形，考查三角函数的对称性，本题解题的关键是确定三角函数的解析式，特别是对于初相的确定是一个难点，属于中档题．