Question

已知f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

sin（x-

π

3

）
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）若a∈（0，

π

2

），f（a）=

2

，求f（2a）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接结合两角和与差的三角公式进行化简即可；
（2）根据（1），得到a=

5π

12

，然后，求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

sin（x-

π

3

）
=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+

3

sinxcos

π

3

-

3

cosxsin

π

3

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

3

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

sinx-cosx
=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）=2sin（x-

π

6

）．
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
（2）∵f（a）=

2

，
∴f（a）=2sin（a-

π

6

）=

2

，
∴sin（a-

π

6

）=

2

2

，
∵a∈（0，

π

2

），
∴a-

π

6

=

π

4

，
∴a=

5π

12

，
∴f（2a）=f（

5π

6

）=2sin（

5π

6

-

π

6

）
=2sin

2π

3

=2×

3

2

=

3

．
∴f（2a）的值

3

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．