Question

5．已知定义在D={x∈R|x≠0}上的函数y=f（x），满足x＞0时总有f（x）＜0，f（1）=-2，并且对任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂≠0，有f（x₁+x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）•f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}$，则不等式f（2x+1）＞-1的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$，可令g（x）=$\frac{1}{f（x）}$，即为g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂），易得g（x）为奇函数，即有f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＜0；x＜0时，f（x）＞0．由f（1）求得f（2）=-1，再由单调性的定义判断f（x）在x＞0为递增函数；x＜0也为递增函数，即可得到不等式的解集．

解答 解：f（x₁+x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）•f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}$，
即有$\frac{1}{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$，
可令g（x）=$\frac{1}{f（x）}$，
即为g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂），
易得g（x）为奇函数，
即有f（x）为奇函数，
当x＞0时，f（x）＜0；x＜0时，f（x）＞0．
由f（1）=-2，可得f（2）=$\frac{f（1）•f（1）}{2f（1）}$=$\frac{4}{-4}$=-1，
由x₁＞x₂＞0，可得x₁-x₂＞0，
f（x₁-x₂）＜0，即为$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f（-{x}_{2}）}$＜0，
即有$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$＜$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$，即f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）在x＞0为递增函数；x＜0也为递增函数．
由f（2x+1）＞-1=f（2），可得
$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞0}\\{2x+1＞2}\end{array}\right.$或2x+1＜0，
解得x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断及运用，考查不等式的解法，注意运用赋值法和单调性，属于中档题．