Question

10．某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积20π．

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体，然后找出多面体外接球的球心，求出半径OB，代入球的表面积得答案．

解答 解：由三视图作出原几何体如图，

三棱锥A-BCD的底面BCD为等腰直角三角形，BC⊥侧面ABD，侧面ABD为等腰三角形，且腰长为2，
在△ABD中，由余弦定理求得AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×cos120°}=2\sqrt{3}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin120°}=2r$（r为△ABD的外接圆的半径），则r=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
设△ABD的外心为G，过G作平面ABD的垂线，与BC的垂直平分线交于O，∴OB²=OG²+BG²=1²+2²=5．
∴几何体的外接球表面积为4πR²=4π×5=20π．
故答案为：20π．

点评 本题考查简单几何体的三视图，考查多面体外接球表面积的求法，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．