Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＜0）的离心率为$\sqrt{3}$，焦点到渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理定理及中点坐标公式，代入圆的方程即可求得m的值．

解答 解：（1）由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$a，
双曲线的渐近线方程l：y=±$\frac{b}{a}$x，焦点为F（c，0），
则焦点到渐近线的距离d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=3，
由c²=a²+b²，解得：a²=$\frac{9}{2}$，
∴双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则线段AB的中点M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
即x²-2mx-m²-9=0，
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，整理得：x²-2mx-m²-9=0，
∴x₁+x₂=2m，
∴y₁+y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁+x₂+2m=4m，
∴M（m，2m）
∴将M点坐标代入圆的方程x²+y²=5中，解得：m=±1，
m的值±1．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质及双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．