Question

5．已知在△ABC中∠A、∠B均为锐角，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（1）求cos（A+B）
（2）求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB的值，利用两角和的余弦公式可求cos（A+B）的值．
（2）由（1）可得：cos（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用诱导公式可求cosC的值，结合C的范围可求C的值．

解答 解：（1）∵∠A、∠B均为锐角，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由（1）可得：cos（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵在△ABC中，C=π-（A+B）∈（0，π），
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴C=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．