Question

20．函数f（x）=$\frac{x^2+a}{x+1}（a∈R）$
（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，即可求解实数a的值；
（Ⅱ）利用极值点求出a，求出函数的导数，利用导函数的符号，求解单调区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{x^2+a}{x+1}（a∈R）$，
${f^'}（x）=\frac{{{x^2}+2x-a}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，
∴${f^'}（1）=\frac{1}{2}，解得a=1$…（4分）．
（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=3，
∴${f^'}（x）=\frac{{{x^2}+2x-3}}{{{{（x+1）}^2}}}$（x≠-1）…（6分）
由f′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1；
由f′（x）＜0，解得-3＜x＜1且x≠-1；
所以f（x）的单调增区间是（-∞，-3）和（1，+∞），
单调减区间是（-3，-1）和（-1，1）．…10分

点评 本题考查函数的导数的应用，单调区间以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．