Question

9．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-2y-7=0垂直，求f（x）的单调区间；
（2）求证：f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．

Answer 1

分析 （1）利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-2y-7=0垂直，求出a的值，利用导数的正负求f（x）的单调区间；
（2）分充分性、必要性证明，即可证明f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．

解答 （1）解：因为$f'（x）=1-\frac{a}{x}$，所以f'（1）=1-a，
所以$\frac{1}{2}（1-a）=-1$，解得a=3．
令$f'（x）=1-\frac{3}{x}＞0$，得x＞3，所以f（x）得单调递增区间为（3，+∞），
令$f'（x）=1-\frac{3}{x}＜0$，得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3）．
（2）证明：①充分性．
当a=1时，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数．
所以f（x）≥f（1）=1．
②必要性．$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，其中x＞0．
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
而f（1）=1，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜1，与f（x）≥1恒成立矛盾，
所以a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，
因为当x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数．
所以f（x）≥f（a）=a-alna，
因为f（1）=1，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=1，此时与f（x）≥1恒成立矛盾，
所以a=1．
综上所述，f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查充要性的证明，属于中档题．