Question

已知n∈N^*，数列{d_n}满足d_n=

3+(-1)n

2

，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知数列{b_n}中，b₁=2，且对任意正整数m，n，b_n^m=b_mⁿ．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}前2014项的和T₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接根据函数的解析式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据上部的结论利用分类求出数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）根据函数关系式：
∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3×2n

2

=3n
又由题知：
令m=1，则b2=

b

2 1

=22，b3=

b

3 1

=23
bn=

b

n 1

=2n
若bn=2n，
则：

b

m n

=2nm，

b

n m

=2mn，
所以

b

m n

=

b

n m

恒成立
若bn≠2n，
当m=1，

b

m n

=

b

n m

不成立，
所以bn=2n
（Ⅱ）由题知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b₁=2，b₂=4公比均是8，
T₂₀₄₁=（c₁+c₃+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+…+c₂₀₁₄）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81007)

1-8

=

6×81007-6

7

点评：本题考察的知识要点：求函数的通项公式，数列的求和，属于基础题型．