Question

12．如图，若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为120°．

Answer 1

分析 由已知（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}=0$，展开数量积公式，代入向量的模，求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值，则答案可求．

解答 解：如图，
设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ（0°≤θ≤180°），
由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}=0$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cosθ=0$，
∴1+2cosθ=0，得cosθ=-$\frac{1}{2}$．
∴θ=120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查了向量垂直与数量积间的关系，是中档题．